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有N种物品，每种物品的数量为C1，C2......Cn。从中任选若干件放在容量为W的背包里，每种物品的体积为W1，W2......Wn（Wi为整数），与之相对应的价值为P1,P2......Pn（Pi为整数）。求背包能够容纳的最大价值。
第1行，2个整数，N和W中间用空格隔开。N为物品的种类，W为背包的容量。(1 <= N <= 100，1 <= W <= 50000)
第2 - N + 1行，每行3个整数，Wi，Pi和Ci分别是物品体积、价值和数量。(1 <= Wi, Pi <= 10000， 1 <= Ci <= 200)
输出可以容纳的最大价值。
3 6
2 2 5 3 3 8 1 4 1
9
有n种物品，每种物品体积是w，价值是p，数量为c，背包的可以承受的重量为W，为背包中可以最多有多少价值。因为这里每个物品都有固定的数量，所以为多重背包问题。01背包每种物品只有1个，多重背包每种物品就是c个。那么我们可以如下转换：比如a物品有4个，我们可以将其看做是4种体积和价值都相同的物品，然后转换为01背包问题。
#include#include #include #include #include using namespace std;int dp[50007];struct node{ int w; //体积 int p; //价值 int c; //数量 }a[107];int main(){ int n,w; scanf("%d%d",&n,&w); for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d%d%d",&a[i].w,&a[i].p,&a[i].c); } memset(dp,0,sizeof(dp)); for(int i=1;i<=n;i++) { for(int k=1;k<=a[i].c;k++) { for(int j=w;j>=a[i].w;j--) { dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i].w]+a[i].p); } } } printf("%d\n",dp[w]); return 0; }
所以我们可以用二进制来化简。
比如一个物品数量为 14 .
将14通过二进制来化简为：1 + 2 + 4 +7 = 2^0 + 2^1 + 2^2 + (14 - 2^0 + 2^1 + 2^2 )
我们可以把它化成如下4个物品：
重量是1 * Wi , 体积是1 * Vi 重量是2 * Wi , 体积是2 * Vi 重量是4 * Wi , 体积是4 * Vi 重量是7 * Wi , 体积是7 * Vi 但是取值是我们要注意，最后2^n是否可取，在这里最后2^3=8，但是1 + 2 + 4 + 8 >14，所以最后一值只能取7. 我们用这4个物品代替原来的14个物品，原来物品无论取多少个，重量和体积都可以靠我们这几个物品凑出来。若取1个物品，重量是1 * Wi , 体积是1 * Vi。
若取2个物品，重量是2 * Wi , 体积是2 * Vi。
若取3个物品，重量是1 * Wi + 2 * Wi , 体积是1 * Vi + 2 * Vi。
若取4个物品，重量是4 * Wi , 体积是4 * Vi。
若取5个物品，重量是1 * Wi + 4 * Wi , 体积是1 * Vi + 4 * Vi。
若取6个物品，重量是2 * Wi + 4 * Wi , 体积是2 * Vi + 4 * Vi。
若取7个物品，重量是7 * Wi , 体积是7 * Vi。
若取8个物品，重量是1 * Wi + 7 * Wi , 体积是1 * Vi + 7 * Vi 。
若取9个物品，重量是2 * Wi + 7 * Wi , 体积是2 * Vi + 7 * Vi 。
若取10个物品，重量是1 * Wi + 2 * Wi + 7 * Wi , 体积是1 * Vi + 2 * Vi + 7 * Vi 。
若取11个物品，重量是4 * Wi + 7 * Wi , 体积是4 * Vi + 7 * Vi 。
若取12个物品，重量是1 * Wi + 4 * Wi + 7 * Wi , 体积是1 * Vi + 4 * Vi + 7 * Vi 。
若取13个物品，重量是2 * Wi + 4 * Wi + 7 * Wi , 体积是2 * Vi + 4 * Vi + 7 * Vi 。
若取14个物品，重量是1 * Wi + 2 * Wi + 4 * Wi + 7 * Wi , 体积是1 * Vi + 2 * Vi + 4 * Vi + 7 * Vi 。
我们转化为一般方法，对于Ci ,我们的拆分方法是：
1，2，4，8…… 同时Ci减去这些值，如果Ci不够减了，则把最后剩余的算上，同时我们体积和价值也对应乘以这些系数。Ci个同一种物品，就变成了logCi个物品了 。